Laje Maciça Com Armadura Cruzada: Tabelas de Czerny

Mesmo com tantas opções quando se fala em lajes (treliçada, nervurada, alveolar e etc.), a laje maciça ainda é uma das mais utilizadas.

Mas vamos começar do princípio:

– O que é uma laje maciça?

É um tipo de laje cuja espessura é totalmente preenchida por concreto, sem a presença de lajotas, isopor ou mesmo espaços vazios.

A armadura desse tipo de laje pode ser colocada em apenas uma direção ou em duas direções, isso depende da geometria da peça.

Imagine uma laje com uma largura X (menor dimensão) e um comprimento Y (maior dimensão), se dividirmos Y por X, teremos uma relação entre o comprimento e a largura dessa peça de forma que, se o resultado for 1, isso significa que o comprimento é igual à largura.

– Para peças em que Y/X for maior que 2, a armadura poderá ser disposta em apenas uma direção (X).

– Para peças em que Y/X for menor que 2, a armadura deverá ser disposta em duas direções (X e Y).

– Ok, mas como calculamos isso?

Czerny criou uma série de tabelas para simplificar esses cálculos, de forma que a distribuição das cargas possa ser classificada de acordo com a relação geométrica Y/X e com a distribuição dos seus apoios, separando os tipos de lajes em seis casos distintos.

Para facilitar os seus cálculos, criamos uma tabela comentada, basta baixá-la e clicar em “habilitar edição” para ter acesso aos comentários. Na seção “cálculo” você pode preencher com as informações da sua laje e os resultados serão dados na seção “resultados”.

Clique aqui para fazer o download da tabela

 

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Utilizando essas tabelas conseguimos calcular os momentos positivos e negativos em uma laje, em ambas as direções, bem como a distribuição de cargas para as vigas.

Para isso, utilizamos os cálculos das tabelas para cada laje de forma individual, como no exemplo a seguir:

Para a laje L1 temos uma relação Y/X de 1,32 (para os cálculos, lembre-se de usar o vão teórico, que é a distância entre os eixos das vigas) e, dentre os casos previstos nas tabelas, a laje L1 se encaixa no caso 2A, enquanto a laje L2 se encaixa no caso 2B, vide tabela comentada.

Na L1, a dimensão Y (maior dimensão) será de 4,15 m e a dimensão X (menor dimensão) será de 3,15 m e ela será classificada no caso 2A da tabela por se tratar de uma laje com três lados apoiados e um lado menor engastado. Já na L2, a dimensão Y será de 3,15 m e a dimensão X será de 2,65 m e ela será classificada no caso 2B da tabela por se tratar de uma laje com 3 lados apoiados e um lado maior engastado.

Utilizamos então os valores correspondentes a 1,30, pois é o valor mais próximo da tabela:

A tabela nos dá então, os valores de:

mx = 21,7	ny = 9,6	v2 = 0,331
my = 29,7	v1 = 0,239	v3 = 0,191

Com esses valores podemos calcular os valores de momento positivo na direção x (Mx) e na direção y (My) bem como o momento negativo no lado engastado (Xy) e os carregamentos nas vigas (Rn) através das seguintes fórmulas:

                        

                       

Onde:

Mx é o momento positivo na direção X (KNm);

My é o momento positivo na direção Y (KNm);

Xy é o momento negativo na direção Y (onde há o engaste)(KNm);

q é o carregamento da laje (KN/m²);

lx é o menor lado da laje (m);

ln é o lado inverso ao lado da viga em questão (m), e;

Os valores de mx, my, ny e Vn são dados pela tabela acima.

Para esse exemplo vamos considerar um carregamento distribuído (q) de 5,60 KN/m²:

                    

Desta forma conseguimos calcular os momentos das duas lajes do exemplo, onde obtemos os seguintes valores:

Laje 1	Laje 2
Mx = 2,56 KNm	Mx = 1,61 KNm
My = 1,87 KNm	My = 0,81 KNm
Xy = 5,79 KNm	Xx = 3,86 KNm
R(V01) = 4,216 KN/m	R(V01) = 2,699 KN/m
R(V02) = 4,216 KN/m	R(V02) = 2,699 KN/m
R(V03) = 4,439 KN/m	R(V05) = 3,769 KN/m
R(V04) = 7,692 KN/m	R(V04) = 6,530 KN/m

 

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Com os valores calculados, podemos então gerar o diagrama de momento fletor para as duas lajes:

No entanto, como pode ser visto no diagrama, há uma quebra entre os valores de momento negativo e, para isso, deve-se traçar o equilíbrio dos momentos:

O momento negativo total deve ser o maior valor entre:

       ou     

Onde:

MNT é o momento negativo total (KNm);

MN1 é o maior momento negativo (KNm), e;

MN2 é o menor momento negativo (KNm).

    ou   

O maior momento positivo também deverá ser equilibrado com a seguinte fórmula:

Onde:

MPC é o momento positivo corrigido (KNm);

MP1 é o maior momento positivo (KNm);

MN1 é o maior momento negativo (KNm), e;

MNT é o momento negativo equilibrado (obtido na fórmula anterior) (KNm).

A correção do momento fletor positivo não é aplicada na laje que tiver o momento negativo (MN2) mais baixo que o momento negativo total (MNT), pois isso implicaria em uma diminuição na segurança da laje. Por esse motivo o valor de 1,61 KNm do diagrama abaixo será mantido, enquanto o valor de 1,87 KNm será corrigido para 2,35 KNm.

Para o nosso exemplo temos então que MNT = 4,83 KNm e MPC = 2,35 KNm, gerando um novo diagrama de momento fletor:

 

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Agora que temos o diagrama de momento fletor, basta aplicarmos as fórmulas de área de aço para cada laje:     

                   

Onde:

b é uma faixa de 1 metro (utiliza-se 1,0 para delimitar a área de aço por metro);

d é a distância da borda comprimida da seção da laje até o centro de gravidade da armadura (m);

M é o valor do momento para cada posição calculada (KNm);

As é a área de aço por metro de laje (cm²), e;

O valor de K6 calculado será posto em uma das tabelas para se obter o valor de K3.

Para o nosso exemplo consideramos uma altura das lajes de 10 cm, uma altura útil (d) de 7,5 cm e uma resistência do concreto de 25 MPa, obtendo então os seguintes valores:

Momento Positivo de 2,35 KNm – K6 = 239,36 – K3 = 0,329

Momento Positivo de 1,61 KNm – K6 = 349,38 – K3 = 0,326

Momento Negativo de 4,83 KNm – K6 = 116,46 – K3 = 0,335

Além dos momentos que não passaram pelo equilíbrio:

Momento Positivo de 2,56 KNm – K6 = 219,73 – K3 = 0,329

Momento Positivo de 0,81 KNm – K6 = 694,44 – K3 = 0,323

Para as áreas de aço temos então:

Laje 1:

Na tabela, devemos escolher o valor imediatamente superior ao calculado: para 1,031 utilizamos 1,05:

Momento positivo em Y = 1,031 cm² – Ø5,0mm c/19

Momento positivo em X = 1,123 cm² – Ø5,0mm c/17

Momento negativo em Y = 2,158 cm² – Ø6,3mm c/14

Laje 2:

Momento positivo em X = 0,700 cm² – Ø5,0mm c/28

Momento positivo em Y = 0,349 cm² – Ø5,0mm c/30

Momento negativo em X = 2,158 cm² – Ø6,3mm c/14

No entanto, deve-se conferir a área de aço mínima para cada caso:

Onde:

Asmin é a área de aço mínima (cm²);

b é uma faixa de 1 metro (utiliza-se 100 cm nesta fórmula);

h é a altura da laje (cm).

Para o nosso exemplo temos que a área mínima de aço é de 1,00 cm², então nos casos onde As for menor que 1,00 cm², devemos adotar a armadura mínima:

Laje 1:

Momento positivo em Y = 1,031 cm² – Ø5,0mm c/19

Momento positivo em X = 1,123 cm² – Ø5,0mm c/17

Momento negativo em Y = 2,158 cm² – Ø6,3mm c/14

Laje 2:

Momento positivo em X = 1,000 cm² – Ø5,0mm c/20

Momento positivo em Y = 1,000 cm² – Ø5,0mm c/20

Momento negativo em X = 2,158 cm² – Ø6,3mm c/14

 

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Ao final desse processo podemos então fazer o detalhamento da armadura das lajes:

 

As tabelas de Czerny servem para agilizar os processos de análise e dimensionamento de lajes maciças em estruturas no estado limite último (ELU), bem como para comparação com outros métodos.

Tanto a armadura de borda quanto a decalagem das armaduras serão abordadas em um próximo artigo.

Apesar de termos feito o passo a passo de apenas um dos casos previstos nas tabelas, os outros casos seguem os mesmos princípios de cálculo, mas com variações nos lados engastados de cada laje.

Até uma próxima, abraço!