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Diagramas de Vigas em Balanço

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Uma viga em balanço é quando temos alguma extremidade de uma viga livre de apoio, como nas sacadas de apartamentos. Podemos ter dois tipos principais de vigas em balanço:

Engastada:

Tipos1          escada-flutuante-13

Apoiada:

Tipos2asd.jpg

 


 

Exemplo 01:

 

Para esse artigo vamos trazer um exercício mais próximo do real: Vamos imaginar uma sacada com 2,20 m por 4,20 m (vãos teóricos), com uma laje maciça:

Sacada

Delimitações do nosso exemplo:

Peitoril:

1,10 m de altura;

Espessura de 11 cm para os tijolos;

Espessura de 1,5 cm de reboco para cada lado;

Laje:

10 cm de altura do concreto da laje;

1,5 cm de revestimento de gesso (em baixo da laje);

1,0 cm de contrapiso;

Piso cerâmico de 0,20 KN/m².

Vigas:

15 cm de largura;

40 cm de altura;

Pesos:

Os pesos a serem considerados para cálculo são delimitados pela NBR 6120:

Tijolos furados: 13 KN/m³;

Argamassa de cimento e areia: 21 KN/m³;

Concreto armado: 25 KN/m³;

Argamassa de gesso: 12,5 KN/m³;

Peitoril:

Tijolos: 0,11m (espessura) * 1,10m (altura) * 1,0m (para calcularmos o peso por metro) * 13,0KN/m³ = 1,573 KN/m;

Revestimento: (0,015m+0,015m) (espessura de cada lado da parede) * 1,10m (altura) * 1,0m (para calcularmos o peso por metro) * 21KN/m³ = 0,693 KN/m;

Total: 1,573 + 0,693 = 2,266 KN/m.

Laje:

Concreto: 0,10m (altura da laje) * 1,0m² (para calcularmos o peso por metro quadrado) * 25KN/m³ = 2,5 KN/m²;

Gesso: 0,015m (espessura) * 1,0m² (para calcularmos o peso por metro quadrado) * 12,5KN/m³ = 0,1875 KN/m²;

Contrapiso: 0,01m (espessura) * 1,0m² (para calcularmos o peso por metro quadrado) * 21KN/m² = 0,21 KN/m²;

Piso: 0,20 KN/m²;

Carga acidental (dada na NBR 6120): 2,0 KN/m²;

Total: 2,5 + 0,1875 + 0,21 + 0,20 + 2,0 = 5,10 KN/m².

Peso próprio das vigas:

Concreto: 0,15m (largura) * 0,40m (altura) * 1,0m (para calcularmos o peso por metro) * 25KN/m³ = 1,5 KN/m.

Nossa laje terá um peso total de:

4,20 m * 2,20 m * 5,10 KN/m² = 47,124 KN.

Esse peso será distribuído entre as duas vigas, ou seja, metade do peso recairá sobre cada viga (23,562 KN) e, como sabemos que esse peso será distribuído ao longo da viga, devemos dividí-lo pela extensão da viga:

23,562 KN / 2,20 m = 10,71 KN/m.

O peitoril que percorre o trecho de 4,20 m recairá sobre as vigas como uma carga concentrada, portanto, devemos calculá-lo:

4,20 m * 2,266 KN/m = 9,5172 KN.

Como esse peso será distribuído entre as duas vigas, devemos dividí-lo por dois também:

9,5172 KN / 2 = 4,7586 KN (em cada viga).

 

Total (para cada viga):

Carga Distribuída: 10,71 KN/m (laje) + 2,266 KN/m (peitoril) + 1,5 KN/m (peso próprio) = 14,476 KN/m.

Carga concentrada (na ponta de cada viga): 4,7586 KN.

 

Agora podemos desenhar o Diagrama de Corpo Livre:

Exemplo 1

 


 

Diagrama de Esforço Cortante:

 

Como não temos um segundo apoio, todo o esforço cortante será suportado apenas pela reação RA, então podemos calcular apenas a equação de equilíbrio das forças verticais:

fy

fy2

fy3

A equação que descreve o esforço cortante desse exemplo é a integral da constante do carregamento distribuído, ou seja, a integral de 14,476:

int1

O termo “+b” da equação é dado pela altura em que a reta começa, nesse caso, equivale a +36,6058 (RA).

Com essas informações, podemos então desenhar nosso diagrama de esforço cortante:

Exemplo 1.2

 


 

Diagrama de Momento Fletor:

 

Para chegarmos na equação que descreve o momento fletor nessa viga podemos pensar no cálculo das áreas do diagrama de esforço cortante:

Exemplo 1.3

 

Para a área vermelha temos uma variação de 31,8472 (36,6058 – 4,7586) em 2,20 m, ou seja, uma variação de 14,476*X. Para calcularmos a área do triângulo temos que multiplicar a variação (31,8472 ou 14,476*X) pela distância (2,20 m ou X) e dividirmos por 2:

eq1   ou   35,03192

Para a área azul temos que multiplicar a altura de 4,7586 pela distância (2,20 m ou X):

eq2

Temos então a equação que descreve o momento fletor:

eq3

 

Reação

No caso de uma viga sustentada apenas por um único engaste, temos uma reação de momento que chamaremos de RM, isso acontece porque, caso a viga não estivesse engastada, o sistema não estaria em equilíbrio.

Essa reação faz com que o momento acumulado nessa viga seja transferido para outro elemento, no caso do nosso exemplo, será transferido para o pilar, como foi explicado no artigo Diagramas de Pórticos.

Essa reação RM será então o acúmulo de todo o momento fletor gerado na viga:

eq4

 

Tendo a equação que descreve a atuação do momento fletor e os valores calculados, podemos então desenhar nosso diagrama de momento fletor:

Exemplo 1.4.1


 

Exemplo 2:

 

Vamos usar as mesmas vigas do exemplo anterior, mas ao invés de considerá-las engastadas no pilar, vamos considerá-las como viga contínua por mais 4 metros:

Exemplo 2

No primeiro trecho (vão de 4,0 m) consideramos uma parede de 2,80 m, por isso a carga distribuída ficou maior que a carga do segundo trecho (vão de 2,2 m).

 

Basicamente o trecho 02 (vão de 2,2 m) ficará igual, já que as cargas serão as mesmas. A diferença em relação as casos vistos no artigo Diagrama de Momento Fletor é que haverá uma interação entre o momento gerado no trecho 01 e o momento gerado no trecho 02, gerando momento negativo no apoio RB.

Como foi explicado no artigo Diagramas de Pórticos, o momento gerado na viga em balanço, independente de ser positivo ou negativo, tem que ser absorvido por alguma outra parte da estrutura para que o conjunto permaneça em equilíbrio.

 

Reações:

Para utilizarmos a equação de equilíbrio dos momentos em casos desse tipo, temos que tomar cuidado com o sentido das cargas em relação ao ponto de observação que estamos adotando, por exemplo:

Adotando RB e o sentido anti-horário como referência, a carga de 17,978 será positiva enquanto a carga de 14,476 será negativa:

Exemplo 2.1.1

Com esse princípio em mente, podemos então utilizar a equação de equilíbrio dos momentos para achar as reações RA e RB:

gif (1)

ra3

rb1

rb2

 

Com todas as forças conhecidas, podemos ir para o próximo passo.

 


 

Diagrama de Esforço Cortante:

 

No primeiro trecho temos a reação RA, de 24,58 KN e depois temos a carga distribuída que passa a ser a função -17,978*X.

No segundo trecho temos a reação RB, de 83,935 KN, depois temos a carga distribuída que passa a ser a função -14,476*X e por fim temos a carga concentrada de 4,7586 KN.

Exemplo 2.2

Valores arredondados para 2 casas após a vírgula.

Repare que há dois momentos em que o esforço cortante cruza o eixo X: no primeiro trecho, onde podemos deduzir que o momento máximo positivo será atingido, e no apoio RB, onde o momento máximo negativo será atingido.

 


 

Diagrama de Momento Fletor:

 

No primeiro trecho podemos fazer a integral da equação do esforço cortante:

int2

Já no segundo trecho, como os esforços são os mesmos do exemplo 01, o diagrama de momento fletor será o mesmo, mas, para ter certeza, faremos uma conferência:

Sabemos que no diagrama de momento fletor não são comuns descontinuidades do gráfico, ou seja, o resultado da equação do primeiro trecho tem que ser igual ao momento máximo negativo do segundo trecho:

Sabemos que o momento máximo negativo no segundo trecho (calculado no exemplo 01) foi de 45,5 KNm, então, para X valendo 4,0 m, o resultado da equação do primeiro trecho tem que ser o mesmo:

gif (2)

Temos que calcular também o momento máximo positivo e, para isso, temos que descobrir em que posição de X o gráfico de esforço cortante cruza o eixo X:

gif (3)

gif (4)

Substituindo X por 1,367 na equação do momento, podemos descobrir o momento máximo:

gif (5)

 

Tendo todos os pontos importantes do gráfico levantados, podemos então desenhar nosso diagrama de momento fletor:

Exemplo 2.3

 

O momento positivo de 16,8 KNm servirá para o cálculo da armadura positivo, ou seja, o dimensionamento das barras longitudinais que ficarão na parte de baixo da viga, enquanto o momento negativo de 45,5 KNm servirá para o cálculo da armadura negativa, ou seja, o dimensionamento das barras longitudinais que ficarão na parte de cima da viga.

 

Até uma próxima, abraço!

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